Uma medida de irregularidade baseada na métrica de Wasserstein para morfologia matemática multivariada

Data
2023-07-10
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UNICAMP

Resumo

A morfologia matemática é uma teoria não linear para análise e processamento de imagens baseada em conceitos topológicos e geométricos que pode ser desenvolvida utilizando a teoria de reticulados. A estrutura de reticulados completos é conveniente para estudos teóricos e práticos na morfologia matemática. A morfologia matemática é aplicada a imagens binárias, tons de cinza e imagens multivariadas. Imagens obtidas por operadores morfológicos em imagens coloridas em que o espaço de cores possui uma ordem parcial podem conter cores falsas. As imagens obtidas por operadores morfológicos em imagens coloridas em que o espaço de cores possui uma ordem total, não apresentam cores falsas. Entretanto, apresentam imperfeições que se assemelham a um serrilhado. Essas imperfeições nas imagens aparecem em operadores morfológicos multivariados baseados em uma ordem total e é chamada de irregularidade. Essa tese propõe construir uma medida de irregularidade para morfologia matemática multivariada. Para este propósito define-se o índice de irregularidade global utilizando-se a métrica de Wasserstein e a soma generalizada da distância entre duas imagens pixel a pixel. Além disso, define-se um índice de irregularidade local devido a impossibilidade computacional de medir a irregularidade para imagens multivariadas reais devido ao alto custo do problema de otimização para obtenção da métrica de Wasserstein. Prova-se que o índice de irregularidade local é um limitante inferior para o índice de irregularidade global e mostram-se resultados computacionais em imagens naturais. Utiliza-se também um método de entropia regularizada como forma de aproximação para a métrica de Wasserstein com o intuito de calcular o índice de irregularidade local com baixa complexidade computacional. Ainda, observações entre as medidas de irregularidade de acordo com o tamanho do elemento estruturante e das janelas locais que são utilizadas para o cálculo do índice de irregularidade local são realizadas. A partir desses resultados, é possível concluir que os índices de irregularidade global e local são medidas satisfatórias para irregularidades provenientes de operadores morfológicos multivariados. Por fim, utilizam-se abordagens morfológicas como a solução do problema do caixeiro viajante e os mapas auto-organizáveis de Kohonen para justificar a dificuldade de se obter uma ordem total que minimize a irregularidade.


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